6 Repérer et mesurer

6.1 Atelier : trigonométrie

La trigonométrie est l’art, ancien, de mesurer dans les triangles. C’est exactement l’étymologie :

“trigone” : triangle, avec la racine grecque, plutôt que latine,
“-métrie” : mesure.

Que mesure-t-on ? Les angles et les longueurs des côtés, mais ce sont les rapports entre les longueurs qui vont vraiment importer, car l’échelle ne compte pas.

Figure 6.1: Trigonométrie : un art ancien. Diverses utilisations d’un bâton de Jacob en astronomie (au premier plan) et pour l’arpentage - Gravure extraite de l’Introductio geographica de Petrus Apianus, 1532.

Terminologie

Un triangle possède trois triangles adjacents¹, permettant d’obtenir trois parallélogrammes, ayant chacun pour diagonale un des côtés du triangle. Ces triangles se construisent à partir du triangle antimédian, formé des parallèles aux côtés passant par le sommet opposé. Le triangle est dit antimédian du triangle original parce qu’il a ce dernier pour triangle médian. Le triangle médian est le triangle formé à partir des milieux des côtés d’un triangle, qui sont les intersections des côtés et des médianes. Voir le schéma de gauche.
Un triangle est rectangle s’il possède un angle droit. Étant donné un triangle $ABC$ rectangle en $B$, l’hypoténuse est le côté $[AC]$, le côté adjacent à $A$ est $[AB]$ et le côté opposé à $A$ est $BC$. De même, le côté adjacent à $C$ est $[CB]$ et le côté opposé à $C$ est $AB$. Les notions de côtés opposés et adjacents sont donc relatives au point de vue, un des deux sommets de l’hypoténuse. Voir le schéma central qui prend comme point de vue le sommet $A$.
La pente d’une droite relativement à un axe sécant de la droite est la longueur du côté opposé à l’intersection, dans le triangle rectangle ainsi défini :
- hypoténuse sur la droite,
- côté adjacent à l’intersection sur l’axe et de longueur $1$.
Voir le schéma de droite.

Figure 6.2: Triangle : terminologie.

Étant donné un cercle défini par un centre et un rayon, une corde est tout segment dont les extrémités appartiennent au cercle. Le segment reliant le centre du cercle à sa projection orthogonale sur une corde est appelé l’apothème de la corde. En un point du cercle, la droite perpendiculaire au rayon passant par ce point est la tangente. Les tangentes ont donc la propriété suivante : ce sont les seules droites ayant un unique point d’intersection avec le cercle. Les autres droites soit ont deux points d’intersection, soit n’en ont aucun. Enfin, on dit aussi qu’une figure géométrique est tangente à un cercle si un de ses côtés est tangent au cercle en un point.

Figure 6.3: Cercle : terminologie.

Exercice 6.1 (Rappels de géométrie)

Quelle est l’aire d’un triangle ?
- Bonus : Esquisser une démonstration.
Considérons un triangle $ABC$. Donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que les droites $(AB)$ et $(BC)$ soient perpendiculaires,
- en utilisant les mesures des côtés du triangle $(ABC)$,
- en utilisant un cercle.
  - Bonus : Esquisser des démonstrations.
Considérons deux droites $(BC)$ et $(DE)$.
- Donner une condition nécessaire et suffisante relative à la droite $(BD)$ pour que les deux droites $(BC)$ et $(DE)$ soient parallèles.
- Supposons que les droites $(BD)$ et $(CE)$ soient sécantes en $A$. Donner une condition nécessaire et suffisante relative aux triangles $ABC$ et $ADE$ pour que les deux droites $(BC)$ et $(DE)$ soient parallèles.
  - Bonus : Esquisser une démonstration.
Quelle est la somme des angles d’un triangle ?
- Bonus : Esquisser une démonstration

Solution

Aire d’un triangle : base $\times$ hauteur.

Il suffit d’ajouter deux triangles adjacents à $AHC$ et $BHC$ respectivement, pour obtenir un rectangle dont on peut calculer l’aire de deux manières: en tant que rectangle, soit $AB*HC$, et en tant qu’aire composée de quatre triangles, faisant deux fois l’aire du triangle $ABC$.

Figure 6.4: Aire d’un triangle : la moitié de l’aire du rectangle.

Les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires en $B$ si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée:
- $AB^2 + BC^2 = AC^2$ (théorème de Pythagore),
- le milieu du segment $[AC]$ est le centre du cercle circonscrit² au triangle $ABC$.
  - Pour démontrer le théorème de Pythagore, on calcule l’aire du grand carré de deux manières : par l’aire du carré de côté $(a+b)$ et par la somme des aires des quatre triangles et de celle du carré de côté $c$, puis on simplifie.
  - Pour démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, traçons la parallèle à $(BC)$ passant par le centre du cercle $I$. Puis par le théorème de Thalès, on montre $AJ = JB$. Ainsi $(IJ)$ est la médiatrice de $(AB)$, et est donc perpendiculaire à $(AB)$. Comme $(BC)$ est parallèle à $(IJ)$, on peut conclure : $(BC)$ est perpendiculaire à $(AB)$.

Figure 6.5: Triangle rectangle - Théorème de Pythagore : (a + b)² = c² + 4 × (a × b /2).

Figure 6.6: Triangle rectangle et cercle circonscrit - IA = IC, puis par Thalès, JA = JB, enfin comme IA = IB, [IJ] médiatrice perpendiculaire à [AB], donc [BC] perpendiculaire à [AB].

Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles si et seulement si la droite $(BD)$ les coupe suivant le même angle orienté³.

Figure 6.7: Parallélisme - Caractérisation par une sécante.

Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles si et seulement si les triangles $ABC$ et $ADE$ sont semblables (théorème de Thalès).

En effet, calculons l’aire du triangle $ADE$ de deux manières :
- $DE*AK/2$, soit $DE*AJ/2 + DE*JK/2$,
- aire de $ABC$ + aire de $BDEC$, soit \[ \begin{array}{rcl} BC*AJ/2 + ((BC + DE)/2) * JK &=& BC*AJ/2 + BC*JK/2 + DE*JK/2,\\ &=& BC*AK/2 + DE*JK/2.\\ \end{array} \]
De l’égalité entre ces deux aires, il vient $DE * AJ = BC * AK$, soit $BC/DE = AJ/AK$. En considérant les triangles $AJC$ et $AKE$, on obtient de même $JC/KE = AJ/AK$. Pour calculer le rapport $AC/AE$, utilisons le théorème de Pythagore : $AJ^2 + JC^2 = AC^2$, soit $AJ^2 + (AJ/AK)^2*KE^2 = AC^2$, et $AK^2 + KE^2 = AE^2$, d’où $AC^2/AE^2 = AJ^2/AK^2$, soit $AC/AE = AJ/AK$. De même, le troisième rapport $AB/AD$ vaut $AJ/AK$. Les trois rapports sont donc égaux.

Figure 6.8: Théorème de Thalès : Triangles ABC et ADE semblables - De l’égalité des aires à la proportionnalité des côtés.

Somme des angles intérieurs d’un triangle : un angle plat soit $180\ \degre{}$.

Il suffit de tracer la parallèle à $(BC)$ passant par $A$, puis de retrouver les angles $b$ et $c$ en $A$.

Figure 6.9: Triangle - Somme des angles : angle plat.

Par la suite, on suppose que le plan est muni d’un repère orthonormal⁴. Les coordonnées sont toujours relatives à ce repère. Toutes les réponses doivent être justifiées.

Exercice 6.2 (Un premier triangle) Considérons les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(0, 0)$ et $(3, 0)$. Soit $C$ d’ordonnée positive tel que $AC = 5$ et $BC = 4$.

Placer ces trois points dans le plan.
Quelle propriété a le triangle $ABC$ ?

Solution

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, en appliquant la réciproque du théorème de Pythagore : $AB^2 + BC^2 = AC^2$, soit $3^2 + 4^2 = 5^2$.

Figure 6.10: Construction du triangle ABC.

Exercice 6.3 (Un second triangle) Considérons les points $D$ et $E$ appartenant respectivement aux droites $(AB)$ et $(AC)$, ayant des coordonnées positives et vérifiant $AD = 6$ et $AE = 10$.

Placer ces deux points dans le plan.
Quelle propriété a le triangle $ADE$ ?
Comparer les triangles $ABC$ et $ADE$.

Solution

Le triangle $ADE$ est rectangle en $D$. En effet, par la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. Comme $(BC)$ est perpendiculaire à $(AB)$, il s’ensuit que $(DE)$ est perpendiculaire à $(AD)$.
Les triangles $ABC$ et $ADE$ sont semblables, dans un rapport de deux.

Figure 6.11: Construction du triangle ADE.

Exercice 6.4 (Rapports dans un triangle) Considérons un triangle dont les côtés ont pour longueur $a, b$ et $c$.

Combien y a-t-il au total de rapports possibles entre les longueurs $a, b, c$?
Supposons que $a^2 + b^2 = c^2$.
- Quelle propriété a ce triangle ?
- Montrer que
  - deux des rapports sont compris entre $0$ et $1$,
  - un troisième rapport est obtenu comme quotient de ces deux rapports,
  - les autres rapports s’obtiennent simplement.
- Quelle équation vérifient les deux rapports compris entre $0$ et $1$ ?

Solution

Au total, il y a six rapports : trois choix pour le numérateur, deux ensuite pour le dénominateur.
Supposons que $a^2 + b^2 = c^2$.
- Le triangle est rectangle, par la réciproque du théorème de Pythagore.
- $a/c$ et $b/c$ sont compris entre $0$ et $1$, du fait de l’égalité précédente, qui peut se récrire après une division par $c^2$ : $(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1$.
- $b/a = (b/c)/(a/c)$ : rapport entre les deux rapports précédents.
- Les trois autres rapports s’obtiennent par inversion.
- La somme de leurs carrés vaut $1$ : $(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1$.

Exercice 6.5 (Comparaison des rapports dans deux triangles semblables et mesure)

Calculer les différents rapports de l’Exercice 6.4 dans les triangles $ABC$ et $ADE$. Que constate-t-on ?
Après avoir tracé un cercle de centre $A$ et de rayon $1$, construire à l’aide d’une règle et d’un compas (ou d’une équerre pour simplifier) des segments permettant de mesurer graphiquement les différents rapports. Ce cercle est appelé le cercle trigonométrique, de même les rapports sont dits trigonométriques.
En déduire une caractérisation des différents rapports trigonométriques.
Comparer avec la terminologie officielle, associée à l’angle du sommet pris pour point de vue, ici $A$. Justifier que les rapports trigonométriques dépendent d’un unique paramètre, l’angle au sommet pris pour point de vue.

Solution

Par le théorème de Thalès, les rapports sont égaux d’un triangle à l’autre : c’est la proportionnalité entre les triangles semblables. Si on prend comme point de vue le sommet $A$, on peut décrire ainsi ces rapports :
- adjacent / hypoténuse : $3/5$,
- opposé / hypoténuse : $4/5$,
- opposé / adjacent : $4/3$,
- hypoténuse / adjacent : $5/3$,
- hypoténuse / opposé : $5/4$,
- adjacent / opposé : $3/4$.
Construction : voir les figures.
Dans le triangle $ABC$, soient $a, b, c$ les longueurs des segments $[AB], [BC]$ et $[CA]$ respectivement. Voyons la traduction des rapports dans le cercle trigonométrique de rayon $1$, qui prend pour point de vue le sommet $A$.
- $a/c$ : adjacent / hypoténuse - apothème $AX$ - cosinus⁵.
- $b/c$ : opposé / hypoténuse - demi-corde $XP$ - sinus.
- $b/a$ : opposé / adjacent - pente de la droite $(AB)$ relativement à l’axe des abscisses - tangente.
- $c/a$ : hypoténuse / adjacent - hypoténuse du triangle tangent $AIT$, le triangle semblable tangent verticalement au cercle - sécante (nom peu usité).
- $c/b$ : hypoténuse / opposé - hypoténuse du triangle tangent $AJS$, un triangle rectangle adjacent à l’hypoténuse d’un triangle semblable et tangent horizontalement au cercle - cosécante (nom peu usité).
- $a/b$ : adjacent / opposé - pente de la droite $(AB)$ relativement à l’axe des ordonnées - cotangente.

Figure 6.12: Rapports trigonométriques associés à un angle dans un triangle rectangle.

Figure 6.13: Zoom sur le cercle trigonométrique de rayon 1.

Les fonctions trigonométriques sont le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante. En tant que fonction, de quelles paramètres dépendent-elles ? La construction de tous ces rapports à l’aide du cercle trigonométrique montre que les six rapports trigonométriques ne dépendent que du point $P$ sur le cercle, ou de manière équivalente, que de l’arc de cercle de $I$ à $P$, ce qui est la définition de l’angle $\alpha$. Ainsi les fonctions trigonométriques ne dépendent que de l’angle $\alpha$, l’angle au sommet pris pour point de vue. L’angle $\alpha$ (alpha) a donc pour
- cosinus : $AX$ ou $YP$,
- sinus : $AY$ ou $XP$,
- tangente : $IT$,
- cotangente : $JS$,
- sécante : $AT$,
- cosécante : $AS$.
  
  Comment les noter ? En utilisant une notation fonctionnelle, puisqu’on peut considérer que les différents rapports sont des fonctions ayant pour unique paramètre l’angle.
- cosinus de l’angle $\alpha$ (alpha) : $\cosin{}(\alpha)$,
- sinus de l’angle $\alpha$ : $\sinus{}(\alpha)$,
- tangente de l’angle $\alpha$ : $\tang{}(\alpha)$,
- cotangente de l’angle $\alpha$ : $\cotang{}(\alpha)$.
  
  Comment se rappeler la terminologie ? Tout d’abord, on peut se limiter à trois termes, sinus, cosinus, tangente. Le terme cotangente est aussi utilisé, mais on peut le retenir comme l’inverse de la tangente. Enfin, les termes sécante et cosécante sont aujourd’hui rarement utilisés : on peut les appeler simplement inverse du sinus et inverse du cosinus.
  
  Moyens mnémotechniques
- Par la phonétique⁶:
  - sinopi : SINus = OPposé / hYpothénuse,
  - cossadji : COSinus = ADJacent / hYpothénuse,
  - tassico : TAngente = SInus / COsinus.
- Par la géométrie :
  - Sinus : Semi-corde⁷,
  - Cosinus : Compagnon du sinus, mais aussi du sommet pris pour point de vue, ou l’apothème⁸ qui arrive à la Corde,
  - Tangente : segment de la Tangente du cercle trigonométrique en $I$, le point de coordonnée $(1, 0)$.

Exercice 6.6 (Fonctions trigonométriques) Les fonctions trigonométriques associent à des angles des valeurs. En déterminant par des mesures ou des raisonnements les rapports correspondants, il est possible d’obtenir des valeurs particulières, ce qui permet d’établir des tables de correspondance. Ces tables existent depuis longtemps (au moins depuis le VI-ème siècle après J.C.), et permettent à partir d’une valeur d’une fonction trigonométrique, de retrouver approximativement son antécédent, un angle. Progressivement des méthodes de calcul ont été développées, et désormais, grâce à l’informatique, il est possible de calculer automatiquement une approximation de l’angle antécédent. Les fonctions trigonométriques réciproques, ou inverses, sont appelées arc-sinus, arc-cosinus et arc-tangente, abrégées en $\arcsinus{}, \arccosin{}$ et $\arctang{}$ respectivement⁹.

\[ \begin{array}{rrcl} \sinus{} : & \Angle{}([0\ \degre{}, 90\ \degre{}]) & \rightarrow & \Nombre{}([0, 1]), \\ \arcsinus{} : & \Nombre{}([0, 1]) & \rightarrow & \Angle{}([0\ \degre{}, 90\ \degre{}]), \\ \cosin{} : & \Angle{}([0\ \degre{}, 90\ \degre{}]) & \rightarrow & \Nombre{}([0, 1]), \\ \arccosin{} : & \Nombre{}([0, 1]) & \rightarrow & \Angle{}([0\ \degre{}, 90\ \degre{}]), \\ \tang{} : & \Angle{}([0\ \degre{}, 90\ \degre{}[) & \rightarrow & \Nombre{}([0, +\infty[), \\ \arctang{} : & \Nombre{}([0, +\infty[) & \rightarrow & \Angle{}([0\ \degre{}, 90\ \degre{}[). \\ \end{array} \]

stateDiagram-v2 
    direction LR
    state "x" as id
    state "sin(x)" as p

    id --> p: x ↦ sin(x)
    p --> id: x ↦ arcsin(x) 

    state "x" as id2
    state "cos(x)" as r

    id2 --> r: x ↦ cos(x)
    r --> id2: x ↦ arccos(x)

    state "x" as id3
    state "tan(x)" as s

    id3 --> s: x ↦ tan(x)
    s --> id3: x ↦ arctan(x)

Figure 6.14: Les fonctions sinus, cosinus et tangente et leurs réciproques, arc-sinus, arc-cosinus et arc-tangente.

Calculer $\sinus{}(45\ \degre{})$ et $\cosin{}(45\ \degre{})$ en montrant que le triangle $APX$ est alors isocèle et en utilisant le théorème de Pythagore. En déduire $\tang{}(45\ \degre{})$.
Calculer $\sinus{}(30\ \degre{})$, soit la demi-corde $[PX]$, en la complétant pour obtenir la corde entière $[PQ]$ et en remarquant que le triangle ainsi obtenu $APQ$ est équilatéral. En déduire $\cosin{}(30\ \degre{})$ par le théorème de Pythagore puis $\tang{}(30\ \degre{})$.
Calculer $\cosin{}(60\ \degre{})$ en montrant que le triangle $API$ est équilatéral. En déduire $\sinus{}(60\ \degre{})$ par le théorème de Pythagore puis $\tang{}(60\ \degre{})$.
En utilisant une calculatrice, calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l’angle $\alpha$ pour le triangle $ABC$ défini initialement de trois manières différentes, soit à partir de son sinus, de son cosinus et enfin de sa tangente.

Solution

$\alpha = 45\ \degre{}$ - Le triangle $APX$ est isocèle car l’angle en $A$ vaut $45\ \degre{}$, et celui en $P$ vaut $(180 - 90 - 45) = 45\ \degre{}$. Ainsi $XA = XP$, et $2*\sinus{}(45\ \degre{})^2 = 2*\cosin{}(45\ \degre{})^2 = 1$, d’où $\sinus{}(45\ \degre{}) = \cosin{}(45\ \degre{}) = \sqrt{2}/2$ puis $\tang{}(45\ \degre{}) = 1$.
$\alpha = 30\ \degre{}$ - Comme $AP = AQ$, le triangle $APQ$ est isocèle. Les angles en $P$ et $Q$ valent $(180 - 30*2)/2 = 60\ \degre{}$. Le triangle APQ$ est donc équilatéral. Ainsi $PQ = 1$, puis $\sinus{}(30\ \degre{}) = XP = 1/2$. Par Pythogore, $\cosin{}(30\ \degre{}) = \sqrt{1 - \sinus{}(30\ \degre{})} = \sqrt{3}/2$. Enfin $\tang{}(30\ \degre{}) = \sinus{}(30\ \degre{})/\cosin{}(30\ \degre{}) = \sqrt{3}/3$.
$\alpha = 60\ \degre{}$ - Le triangle $API$ est isocèle, puisque $AP = AI = 1$$. Les angles en $P$ et $I$ sont égaux et valent $(180 - 60)/2 = 60\ \degre{}$. Le triangle est donc équilatéral. La projection orthogonale de $P$ coupe $AI$ en son milieu : $\cosin{}(60\ \degre{}) = AX = 1/2$. Comme précédemment, $\sinus{}(60\ \degre{}) = \sqrt{3}/2$ et $\tang{}(60\ \degre{}) = \sqrt{3}/3$.
On a :
- $\sinus{}(\alpha) = 4/5$, d’ou $\alpha = \arcsinus{} (4/5) \approx 53,13\ \degre{}$,
- $\cosin{}(\alpha) = 3/5$, d’ou $\alpha = \arccosin{} (3/5) \approx 53,13\ \degre{}$,
- $\tang{}(\alpha) = 4/3$, d’ou $\alpha = \arctang{} (4/3) \approx 53,13\ \degre{}$.

Adjacent : “Situé dans le voisinage immédiat (auprès, à côté, autour).”↩︎
C’est le cercle qui contient les trois sommets du triangle. Son centre est à l’intersection des médiatrices des côtés du triangle. ↩︎
Le secteur angulaire a pour centre $B$ et $D$ respectivement, et part de la direction de $B$ vers $D$ en sens horaire par exemple. Si la droite $(BD)$ est perpendiculaire, l’orientation n’a pas d’importance.↩︎
Orthogonal et normé, soit de norme (ou longueur) $1$.↩︎
Cosinus se prononce comme cossinus.↩︎
A vous d’imaginer les vôtres. Ci-dessous, ceux que j’utilise, mais d’autres moyens existent !↩︎
Un synonyme de demi-corde, le terme habituel. Il semble que ce soit l’origine du mot sinus, à partir du sanskrit.↩︎
Au sens étymologique, ce qui part du sommet pris pour point de vue.↩︎
On trouve parfois aussi la notation $\sin^{-1}, \cos^{-1}$ et $\tan^{-1}$.↩︎