4 Mesurer avec la dimension
\[ \newcommand{\metre}{\mathtt{m}} \newcommand{\km}{\mathtt{km}} \newcommand{\cm}{\mathtt{cm}} \newcommand{\mm}{\mathtt{mm}} \newcommand{\heure}{\mathtt{h}} \newcommand{\seconde}{\mathtt{s}} \newcommand{\min}{\mathtt{min}} \newcommand{\jour}{\mathtt{j}} \]
La physique, science de la nature au sens général, élabore des théories rendant compte des phénomènes naturels. Dans leur forme moderne, les théories utilisent des objets mathématiques et définissent les relations qui unissent ces objets, sous la forme principalement d’équations. Grâce à cette formalisation mathématique, les théories permettent de simuler les phénomènes naturels : le monde naturel est alors représenté par des nombres, possiblement à l’aide d’un ordinateur. L’accord d’une simulation avec la réalité est vérifié par l’expérimentation : les grandeurs associées aux objets mathématiques sont mesurées, permettant une application numérique. Pratiquement, les conditions initiales sont mesurées, puis les calculs de la simulation sont menés à partir de ces conditions pour finalement aboutir à des résultats, qui sont comparés avec ceux observés dans la nature.
En physique, chaque grandeur vient avec une dimension, et un ensemble fini d’unités. AFFAIRE(dimension ?). Ainsi toute grandeur \(g\) peut s’écrire sous la forme d’un produit
\[ g = v\ u \] où \(v\) est une valeur numérique, un réel, et \(u\) une unité. On la note en omettant le signe de multiplication, mais il faut bien entendre \(g = v * u\).
AFFAIRE(mesure - cf. cours de Géométrie de Lelong-Ferrand et cours de Maths Sup de Smirnov
- \(v\) : la mesure
- pratiquement : un entier
- ensuite affiné en prenant régulièrement une subdivision de l’unité (par exemple un dixième à chaque fois)
- itération jusqu’à ce que la précision soit suffisante )
Pour chaque dimension, il existe une unité de référence, et des unités de commodité, multiples ou fractions de l’unité de référence. Entre deux unités d’une même dimension, il existe une équation établissant le rapport entre ces unités, typiquement une puissance de dix.
Exemples
- Distance : le mètre
- \(1\ \metre{} = 100\ \cm{} = 10^2\ \cm{} = 1000\ \mm{} = 10^3\ \mm{} = 0,001\ \km{} = 10^{-3}\ \km{}\)
- Temps : la seconde.
\(1\ \seconde{} = 1/60\ \min{} = 1/3600\ \heure{}\)
\(1\ \jour{} = 24\ \heure{} = 86400\ \seconde{}\)
Attention : le temps n’utilise pas les subdivisions habituelles, décimales, mais celles sexagésimales (un soixantième), si bien qu’une notation particulière est utilisée exceptionnellement. Un temps peut utiliser plusieurs unités, par exemple \(1\ \heure{}\ 20\ \min{}\ 45\ \seconde{}\) : il faut entendre \(1\ \heure{} + 20\ \min{} + 45\ \seconde{}\). Noter aussi l’irrégularité des subdivisions, venant de la périodicité irrégulière de phénomènes naturels, comme la rotation terrestre, autour de son axe ou autour du soleil : le jour vérifie l’équation \(5\ \jour{} = 2 * 60\ \heure{}\).
Conséquence : bien distinguer \(1,20\ \heure{}\) et \(1\ \heure{}\ 20\ \min{}\), soit \(6/5\ \heure{}\) et \(4/3\ \heure{}\).
4.1 Produits de grandeur
AFFAIRE(
- produit : produit des unités
- interprétation du produit comme une aire
)