4  Suites et séries numériques

Considérons la série \(\sum (u_n).\) Quels sont les critères applicables de convergence ou divergence ? Ce sont des critères qui s’appliquent ultimement, autrement dit seul le comportement à partir d’un certain rang importe.

Isomorphisme somme-différence.

Comparaisons.

Convergence absolue.

Suite géométrique.

Comparaison avec une suite géométrique.

  • Critère de d’Alembert
  • Critère de Cauchy

Comparaison avec une intégrale.

  • \((u_n := f(n)),\) avec \(f\) intégrable.
  • Critère : la série \(\sum (u_n)\) et l’intégrale \(\int_a^{+\infty} f\) (pour un certain \(a > 0\)) sont de même nature.
  • Hypothèses.
    • Formulation classique : \(f\) est positive et décroissante (ou négative et croissante).
    • Formulation plus générale : la série \(\sum (\sup_{x\in[n,n+1]}|f(x)-f(n)|)\) est convergente.
      • Cas particulier : \(f\) est \(\mathcal{C}^1\) et \(\int f'\) est absolument convergente.

Critère pour les séries alternées.

La relation d’équivalence entre suites (en l’infini) ou entre fonctions (en un point, y compris l’infini) n’est pas une bonne relation d’équivalence.

C’est une relation d’équivalence : elle est réflexive, symétrique et transitive. Mais ce n’est pas une congruence pour l’addition.

Exercice 4.1 (Suite récurrente exponentielle : convergence, équivalence, sommation) Soit \((u_n)\) une suite réelle vérifiant \[ u_{n+1} = \frac{\mathtt{e}^{-u_n}}{n+1}. \]

  1. Si \((u_n)\) converge, quelle serait sa limite ?
  2. Étudier la convergence de \((u_n).\)
  3. En déduire un équivalent de \((u_n).\)
  4. Étudier la convergence de la série \(\sum (u_n)\) et de la série \(\sum ((-1)^n \cdot u_n).\)

1. Limite éventuelle.
Si \((u_n)\) converge vers \(\ell,\) alors en passant à la limite dans \(u_{n+1} = \frac{\mathtt{e}^{-u_n}}{n+1},\) par continuité de l’exponentielle, on obtient \(\ell = 0.\) La seule limite possible est donc \(0.\)

2. Convergence de \((u_n).\)
Pour \(n\ge 1,\) on a \(u_n > 0,\) puisque \(u_n\) est le produit de nombres positifs non nuls. De plus, pour \(n\ge 1,\) \[ \begin{align*} 0 &< u_n, \\ -u_n &< 0, \\ \mathtt{e}^{-u_n} &< 1 \quad \text{(exp. croissante)}, \\ \frac{\mathtt{e}^{-u_n}}{n+1} &< \frac1{n+1}, \\ 0 < u_{n+1} &< \frac1{n+1}.\\ \end{align*} \] Par encadrement, \(u_n\to 0.\) La suite \((u_n)\) converge donc vers \(0.\)

Pour \(n\ge 1,\) \[ u_n = \frac{\mathtt{e}^{-u_{n-1}}}{n}. \] Comme \(u_{n-1}\to 0,\) on a \(\mathtt{e}^{-u_{n-1}}\to 1\) par continuité. Donc \[ n \cdot u_n = \mathtt{e}^{-u_{n-1}}\longrightarrow 1. \] Par conséquent, \[ u_n \sim \frac1n. \]

Pour la convergence de la série alternée \(\sum ((-1)^n \cdot u_n),\) avec les \(u_n\) positifs, le critère usuel indique de montrer la décroissance de \((u_n)\) et sa convergence vers \(0.\) Ici, nous savons que \((u_n)\) est équivalente à \((1/n).\) Bien sûr la suite \((1/n)\) vérifie le critère. Cependant il est impossible de déduire que \((u_n)\) vérifie aussi le critère par équivalence. En effet,la règle d’inférence suivante est fausse, pour des suites \((a_n)\) et \((b_n)\) positives. \[ \frac{(a_n)\sim (b_n)\quad (b_n)\text{ ultimement décroissante}}{(a_n)\text{ ultimement décroissante}} \quad \mathrm{[FAUX]} \]

Contre-exemple. Considérons les suites (définies pour \(n > 1\)) \[ \left(b_n := \frac1n \right),\qquad \left(a_n := \frac1n + \begin{cases} 0 \text{ si } n \text{ pair,} \\ \dfrac{2}{n \cdot(n-1)} \text{ si } n \text{ impair.}\\ \end{cases} \right) \] Calculons la différence de deux termes consécutifs pour la suite \((a_n)\) : \[ a_{n+1} - a_n = \frac{-1}{n \cdot (n + 1)} + \begin{cases} \dfrac{2}{(n + 1) \cdot n} \text{ si } n \text{ pair,} \\ \dfrac{-2}{n \cdot(n-1)} \text{ si } n \text{ impair.}\\ \end{cases} \]

Cas de \(n\) pair. On obtient : \[ a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n \cdot (n + 1)}. \] Ainsi \(a_{n+1} > a_n\) pour tout \(n\) pair.

Cas de \(n\) impair. On obtient : \[ a_{n+1} - a_n = \frac{-1}{n \cdot (n + 1)} + \dfrac{-2}{n \cdot(n-1)}. \] Ainsi \(a_{n+1} < a_n\) pour tout \(n\) impair.

Par conséquent, les différences \(a_{n+1} - a_n\) changent de signe selon la parité de \(n.\) Ainsi, la suite \((a_n)\) n’est ni ultimement croissante, ni ultimement décroissante.

Série \(\sum (u_n).\) Comme \(u_n > 0\) et \(u_n \sim \frac1n,\) la série \(\sum (u_n)\) est de même nature que la série harmonique \(\sum (\frac1n),\) qui diverge. Donc \(\sum (u_n)\) diverge.

Série \(\sum ((-1)^n \cdot u_n).\) On commence par montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante à partir d’un certain rang. Pour \(n\ge 2,\) on a \[ \begin{align*} u_{n+1} - u_n &= \frac{\mathtt{e}^{-u_n}}{n+1} - u_n \\ &= \frac{\mathtt{e}^{-u_n} - (n+1) \cdot u_n}{n+1} \\ &= \frac{\mathtt{e}^{-u_n} - \mathtt{e}^{-u_{n-1}} - u_n}{n+1} \\ \end{align*} \] Comme \(u_n\to 0,\) on peut effectuer un développement limité de l’exponentielle : \[ \mathtt{e}^{-u_n} = 1- u_n + o(u_n),\qquad \mathtt{e}^{-u_{n-1}}=1 - u_{n-1} + o(u_{n-1}). \] Comme \(u_n\) est équivalent à \(1/n\) en l’infini, on obtient \[ \mathtt{e}^{-u_n} - \mathtt{e}^{-u_{n-1}} - u_n = -\frac1n + o(1/n). \] Pour \(n\) assez grand, le numérateur est donc négatif, et par suite \(u_{n+1} < u_n.\) La suite \((u_n)\) est décroissante à partir d’un certain rang et tend vers \(0.\) Par le théorème des séries alternées, la série \[ \sum_{n\ge 1} (-1)^n \cdot u_n \] converge.

Exercice 4.2 (Séries : critère de comparaison série-intégrale) Soit \(f:[a,+\infty[\to\mathbb{R}\) une fonction localement intégrable. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(n\ge a,\) supposons que \(f\) soit bornée sur l’intervalle \([n, n+1]\) et posons \[ \omega_n := \sup_{x\in[n,n+1]}|f(x) - f(n)|. \]

  1. Critère par sommabilité des écarts aux bornes. Supposons que la série \(\sum_{n\ge N} \omega_n\) converge pour un certain entier \(N\ge a.\) Montrer que la série \(\sum_{n\ge N} f(n)\) et l’intégrale \(\int_N^{+\infty} f\) sont de même nature : elles convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.
  2. Application à des fonctions suffisamment régulières. Déduire du critère par sommabilité des écarts que si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\)1 sur \([a,+\infty[\) et si l’intégrale \(\int_a^{+\infty}|f'|\) est convergente2, alors pour tout entier naturel \(N \ge a,\) la série \(\sum_{n\ge N} f(n)\) et l’intégrale \(\int_N^{+\infty} f\) sont de même nature.
  3. Critère classique. Déduire du critère par sommabilité des écarts que si \(f\) est positive et décroissante, alors pour tout entier naturel \(N \ge a,\) la série \(\sum_{n\ge N} f(n)\) et l’intégrale \(\int_N^{+\infty} f\) sont de même nature.

Pour tout entier \(n\ge N,\) on a \[ \int_n^{n+1} f = \int_n^{n+1} \bigl(f(n)+f(x)-f(n)\bigr)\,dx = f(n) + \int_n^{n+1} \bigl(f(x)-f(n)\bigr)\,dx. \] Par suite, \[ \left| \int_n^{n+1} f - f(n) \right| \le \int_n^{n+1} |f(x)-f(n)|\,dx \le \int_n^{n+1} \omega_n\,dx = \omega_n. \] Comme la série \(\sum (\omega_n)\) converge, la série \[ \sum_{n\ge N} \left( \int_n^{n+1} f - f(n) \right) \] est absolument convergente, donc convergente. Il s’ensuit que les séries \[ \sum_{n\ge N} f(n) \qquad\text{et}\qquad \sum_{n\ge N} \int_n^{n+1} f \] sont de même nature.

Or, pour tout entier \(m > N,\) \[ \sum_{n=N}^{m-1} \int_n^{n+1} f = \int_N^{m} f. \] Ainsi la série \(\sum_{n\ge N} f(n)\) est convergente si et seulement si la suite \((\int_N^{m} f)_m\) est convergente.

Pour conclure, montrons que la suite \((\int_N^{m} f)_m\) est convergente si et seulement si l’intégrale \(\int_N^{+\infty} f\) converge.

Si l’intégrale \(\int_N^{+\infty} f\) converge, alors la fonction \(t \mapsto \int_N^{t} f\) converge en \(+\infty,\) donc la suite \((\int_N^{m} f)_m\) est convergente.

Réciproquement, supposons que la suite \((\int_N^{m} f)_m\) soit convergente, de limite \(\ell.\) Comme la série \(\sum_{n\ge N} f(n)\) converge, on déduit que la suite \((f(n))\) converge vers \(0.\) Soit \(t \ge N\) un réel. Il se décompose en \(t = m + r,\) avec \(m\) un entier naturel et \(r \in [0, 1[.\) On a \[ \begin{align*} \left|\int_N^t f - \ell\right| &= \left|\int_N^t f - \int_N^m f + \int_N^m f - \ell\right| \\ &\le \left|\int_N^t f - \int_N^m f\right| + \left|\int_N^m f - \ell\right| \\ &\le \left|\int_m^{m + r} f\right| + \left|\int_N^m f - \ell\right| \\ &\le \left|\int_m^{m + r} (f - f(m) + f(m))\right| + \left|\int_N^m f - \ell\right| \\ &\le \int_m^{m + r} |f - f(m)| + \int_m^{m + r} |f(m)| + \left|\int_N^m f - \ell\right| \\ &\le \omega_m + |f(m)| + \left|\int_N^m f - \ell\right|.\\ \end{align*} \] Or \(\omega_m \to 0, |f(m)| \to 0, \left|\int_N^m f - \ell\right| \to 0\) lorsque \(m \to +\infty.\) Ainsi l’intégrale \(\int_N^{+\infty} f\) converge vers \(\ell.\)

Conclusion : la série \(\sum_{n\ge N} f(n)\) et l’intégrale \(\int_N^{+\infty} f\) sont de même nature.

Supposons \(f:[a,+\infty[\to\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et de dérivée absolument intégrable : \[ \int_a^{+\infty} |f'| < +\infty. \] Pour tout \(x\in[n,n+1],\) par le théorème fondamental du calcul intégral, \[ f(x)-f(n) = \int_n^x f'. \] Donc \[ \begin{align*} |f(x)-f(n)| &\le \int_n^x |f'|\\ &\le \int_n^{n+1}|f'|,\\ \omega_n &\le \int_n^{n+1}|f'|.\\ \end{align*} \] Sommons sur \(n\) entre l’entier \(N \ge a\) et \(m :\) \[ \sum_{n=N}^{m}\omega_n \le \sum_{n=N}^{m}\int_n^{n+1}|f'| = \int_N^{m+1}|f'| \le \int_N^{+\infty}|f'|. \] Comme \(\int_a^{+\infty}|f'|\) converge, la suite des sommes partielles \((\sum_{n=N}^{m}\omega_n)_m\) est majorée, et de plus, les \(\omega_n\) étant positifs, elle est croissante. La série \(\sum (\omega_n)\) converge donc.

Le critère s’applique alors : la série \(\sum_{n\ge N} f(n)\) et l’intégrale \(\int_N^{+\infty}f\) sont de même nature.

Supposons \(f:[a,+\infty[\to\mathbb{R}\) positive et décroissante. Pour tout \(x\in[n,n+1],\) on a : \[ f(n+1)\le f(x)\le f(n), \] donc \[ |f(x)-f(n)|=f(n)-f(x)\le f(n)-f(n+1). \] Ainsi, \[ 0\le \omega_n\le f(n)-f(n+1). \] Or la série \(\sum \bigl(f(n)-f(n+1)\bigr)\) est une série télescopique convergente, car elle est à termes positifs et est majorée pour tout \(N \ge a :\) \[ \sum_{n=N}^{m}\bigl(f(n)-f(n+1)\bigr)=f(N)-f(m+1)\le f(N). \] Par comparaison de séries à termes positifs, la série \(\sum (\omega_n)\) converge.

Le critère s’applique donc : les séries \(\sum_{n\ge N} f(n)\) et l’intégrale \(\int_N^{+\infty} f\) sont de même nature.

Exercice 4.3 (Fonctions à variation bornée : critère de comparaison série-intégrale) Soit \(f:[a,+\infty[\to\mathbb{R}\) une fonction localement intégrable. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(n\ge a,\) supposons que \(f\) soit bornée sur l’intervalle \([n, n+1]\) et posons \[ \omega_n := \sup_{x\in[n,n+1]}|f(x) - f(n)| \] et pour toute interpolation linéaire de poids \(\alpha \in [0, 1],\) \[ \mu_n(\alpha) := \sup_{x\in[n,n+1]} \left|f(x)- (\alpha\cdot f(n) + (1 - \alpha) \cdot f(n+1))\right|. \]

  1. Généralisation du critère par sommabilité des écarts. Soit \(N \ge a\) un entier naturel. Montrer l’équivalence suivante pour tout \(\alpha\in[0, 1] :\) la série \(\sum_{n\ge N}\omega_n\) converge si et seulement la série \(\sum_{n\ge N} \mu_n(\alpha)\) converge. En déduire une généralisation du critère par sommabilité des écarts pour la comparaison entre les séries et les intégrales. Rappel : un premier critère par sommabilité des écarts aux bornes est donné dans l’exercice 4.2.

  2. Fonction à variation bornée. On dit que \(f\) est une fonction à variation bornée sur \([a,+\infty[\) si l’ensemble de ses variations discrètes admet une borne supérieure, appelée la variation totale et notée \(V_a^{+\infty}(f).\) Une variation discrète \(V_a(f, x, \sigma)\) est déterminée par un intervalle \([a, x]\) et une subdivision finie \(\sigma\) de l’intervalle \([a, x]\) en \(|\sigma|\) sous-intervalles, soit \[ a = \sigma(0) < \sigma(1) < \cdots < \sigma(|\sigma|) = x, \] et vaut la somme des variations absolues, soit \[ V_a(f, x, \sigma) := \sum_{i=1}^{|\sigma|}\left|f(\sigma(i))-f(\sigma(i-1))\right|. \] Notons \(\mathcal{S}\) l’ensemble des subdivisions, avec \(\mathcal{S} = \bigcup_{x\ge a} \mathcal{S}_x,\) où \(\mathcal{S}_x\) est l’ensemble des subdivisions finies de \([a, x].\) Si \(f\) est à variation bornée, sa variation totale se définit alors ainsi : \[ \begin{align*} V_a^{+\infty}(f) &= \sup_{\sigma \in \mathcal{S}} V_a(f, x, \sigma), \\ &= \sup_{x\ge a} \left(\sup_{\sigma \in \mathcal{S_x}} V_a(f, x, \sigma)\right). \end{align*} \] Montrer que \(f\) est à variation bornée si et seulement s’il existe deux fonctions \(g\) et \(h\) telles que

    • \(f\) est égale à la différence entre \(g\) et \(h,\) soit \(f = g - h,\)
    • \(g\) et \(h\) sont croissantes,
    • la fonction \(g + h\) est bornée.

    Montrer qu’il est possible de choisir \(g\) et \(h\) positives.

  3. Application du critère généralisé aux fonctions à variation bornée. Montrer que si \(f\) est à variation bornée, alors pour tout entier naturel \(N \ge a,\) la série \(\sum_{n\ge N} f(n)\) et l’intégrale \(\int_N^{+\infty} f\) sont de même nature.

Soit \(\alpha\in[0, 1].\) Posons \(m_n(\alpha) := \alpha\cdot f(n) + (1 - \alpha) \cdot f(n+1).\)

Majoration de \(\mu_n(\alpha)\) par \(\omega_n.\)

Pour tout \(x\in[n,n+1],\) \[ \begin{align*} |f(x) - m_n(\alpha)| &\le |f(x) - f(n)|+|f(n) - m_n(\alpha)| \\ &\le |f(x) - f(n)| + (1 - \alpha) \cdot |f(n)-f(n+1)| \\ &\le \omega_n + (1 - \alpha) \cdot \omega_n \\ &\le (2 - \alpha) \cdot \omega_n. \\ \end{align*} \] En passant à la borne supérieure sur \([n,n+1],\) \[ \mu_n(\alpha) \le (2 - \alpha) \cdot \omega_n. \]

Majoration de \(\omega_n\) par \(\mu_n(\alpha).\)

Pour tout \(x \in [n,n+1],\) \[ \begin{align*} |f(x) - f(n)| &\le |f(x) - m_n(\alpha)| + |m_n(\alpha) - f(n)| \\ &\le \mu_n(\alpha) + \mu_n(\alpha) \\ &\le 2 \cdot \mu_n(\alpha). \\ \end{align*} \] En passant à la borne supérieure sur \([n,n+1],\) \[ \omega_n \le 2 \cdot \mu_n(\alpha). \]

Conclusion.

On a donc, pour tout \(n,\) \[ \frac12 \cdot \omega_n \le \mu_n(\alpha) \le (2 - \alpha) \cdot \omega_n \] ou, de façon équivalente, \[ \frac{1}{2 - \alpha} \cdot \mu_n(\alpha) \le \omega_n \le 2 \cdot \mu_n(\alpha). \] Les séries \(\sum \omega_n\) et \(\sum \mu_n(\alpha)\) sont donc de même nature : elles convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux. Par conséquent, les deux versions du critère par sommabilité des écarts sont équivalentes : la première condition \[ \sum_{n\ge N}\sup_{x\in[n,n+1]}|f(x)-f(n)| < +\infty, \] qui implique une approximation aux bornes, est équivalente à la seconde condition \[ \sum_{n\ge N}\sup_{x\in[n,n+1]}\left|f(x) - (\alpha\cdot f(n) + (1 - \alpha) \cdot f(n+1))\right| < +\infty, \] qui implique une interpolation linéaire avec une pondération \(\alpha\in[0, 1].\)

Supposons \(f\) décomposable sous la forme \(f = g - h,\) où \(g\) et \(h\) sont croissantes, et \(g + h\) est bornée.

Considérons une subdivision \(\sigma,\) et posons \(m := |\sigma|\) . On a \[ \begin{align*} \sum_{i=1}^{m}|f(\sigma(i)) - f(\sigma(i-1))| &\le \sum_{i=1}^{m}\bigl(g(\sigma(i)) - g(\sigma(i-1))\bigr) + \sum_{i=1}^{m}\bigl(h(\sigma(i)) - h(\sigma(i-1))\bigr) \\ &\le g(\sigma(m)) - g(a) + h(\sigma(m)) - h(a)\\ &\le (g + h)(\sigma(m)) - (g + h)(a).\\ \end{align*} \] Comme \(g + h\) est bornée, le membre de droite est majoré indépendamment de la subdivision. Donc \[ V_a^{+\infty}(f) < +\infty. \] La fonction \(f\) est à variation bornée.

Il est utile de commencer par une analyse afin de déterminer des candidats possibles pour les fonctions \(g\) et \(h.\)

Supposons \(f = g - h\) et \(B = g + h,\) avec \(B\) bornée. On obtient alors : \[ g = \dfrac{B + f}{2} \text{ et } h = \dfrac{B - f}{2}. \] Il reste donc à deviner la fonction bornée \(B.\) L’hypothèse d’une variation bornée nous donne un candidat naturel, la fonction \(x \mapsto \sup_{\sigma \in \mathcal{S_x}} V_a(f, x, \sigma)\) donnant la borne supérieure des variations sur \([a, x].\)

Supposons \(f\) à variation bornée. Définissons la fonction \(B\) par \[ B(x) := \sup_{\sigma \in \mathcal{S_x}} V_a(f, x, \sigma). \] Définissons \(g\) par \(g := (B + f)/2\) et \(h\) par \(h := (B - f)/2.\) On a bien \(f = g - h\) et \(g + h = B,\) qui est bien bornée par hypothèse. Vérifions que \(g\) et \(h\) sont croissantes.

Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(a\le x < y.\) Comme une subdivision de \([a, x]\) étendue par \(x < y\) donne une subdivision de \([a, y],\) on a \(B(y) \ge B(x) + |f(y) - f(x)|.\) Par conséquent, \[ g(y) - g(x) =\frac12 \cdot \Bigl[\bigl(B(y) - B(x)\bigr)+\bigl(f(y) - f(x)\bigr)\Bigr] \ge \frac12\Bigl[|f(y) - f(x)|+\bigl(f(y) - f(x)\bigr)\Bigr]\ge 0, \] car \(|z| + z\ge 0\) pour tout réel \(z.\) Donc \(g\) est croissante.

De même, \[ h(y) - h(x) = \frac12 \cdot \Bigl[\bigl(B(y) - B(x)\bigr)-\bigl(f(y) - f(x)\bigr)\Bigr] \ge \frac12\Bigl[|f(y) - f(x)|-\bigl(f(y) - f(x)\bigr)\Bigr]\ge 0. \] Donc \(h\) est croissante.

Ainsi, \[ f = \frac{B + f}{2} - \frac{B - f}{2} \] est bien une décomposition de \(f\) comme différence de deux fonctions croissantes de somme bornée. C’est la décomposition de Jordan d’une fonction à variation bornée. Il est possible de choisir \(g\) et \(h\) positifs en les translatant de \(c := \max(-g(a), -h(a)),\) puisque \(g\) et \(h\) sont croissantes : \[ \begin{align*} g(x) + c &\ge g(a) + c \ge 0, \\ h(x) + c &\ge h(a) + c \ge 0. \\ \end{align*} \] La croissance, la différence comme le bornage de la somme sont préservés par translation.

Supposons \(f\) à variation bornée. Décomposons \(f\) sous la forme \(f = g - h,\) où \(g\) et \(h\) sont positives et croissantes, et \(g + h\) est bornée.

\(g\) et \(h\) étant croissantes, on a sur l’intervalle \([n,n+1] :\) \[ g(n) \le g(x) \le g(n+1), \qquad h(n) \le h(x) \le h(n+1). \] En combinant ces inégalités, on obtient : \[ \begin{array}{rcl} g(n) - h(n+1) \le& g(x) - h(x) &\le g(n+1) - h(n), \\ \dfrac{g(n) + h(n) - g(n+1)- h(n+1)}{2} \le& f(x) - \dfrac{f(n)+f(n+1)}{2} &\le \dfrac{g(n+1) + h(n+1) - g(n) - h(n)}{2} \\ \dfrac{(g+h)(n) - (g+h)(n+1)}{2} \le& f(x) - \dfrac{f(n)+f(n+1)}{2} &\le \dfrac{(g+h)(n+1)-(g+h)(n)}{2}, \\ \end{array} \] soit \[ \left|f(x)-\frac{f(n)+f(n+1)}{2}\right| \le \frac{(g+h)(n+1) - (g+h)(n)}{2}. \] Ainsi, \[ \mu_n(1/2) \le \frac{(g+h)(n+1)-(g+h)(n)}{2}. \] La série \(\sum (\mu_n(1/2))\) est donc majorée par la série télescopique \(\frac12 \cdot \sum \left((g+h)(n+1)-(g+h)(n)\right),\) qui converge puisque \(g+h\) est bornée et croissante, et donc convergente. Le critère généralisé s’applique alors, avec \(\alpha = 1/2.\)

Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites. Le produit de Cauchy de \((a_n)\) et de \((b_n)\) est la suite \[ (a_n)\ast(b_n) := \left(\sum_{k = 0}^n a_k \cdot b_{n-k}\right)_n. \] Si on réalise le produit des sommes partielles \(\sum_{i = 0}^n a_i\) et \(\sum_{j = 0}^n b_j,\) alors le produit de Cauchy peut être représenté dans un tableau comme celui qui suit. Chaque terme du produit correspond à la somme des termes d’une diagonale Sud-Ouest/Nord-Est. Ci-dessous la diagonale comprend tous les produits \(a_i \cdot b_j\) avec la contrainte \(i + j = n\), ceux encadrés.

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} & b_0& \ldots & b_j & \ldots & b_n \\ \hline a_0 & a_0\cdot b_0 & a_0\cdot \ldots & a_0\cdot b_j & a_0\cdot \ldots& \boxed{a_0\cdot b_n} \\ \hline \ldots & \ldots\cdot b_0 & \ldots\cdot \ldots & \ldots\cdot b_j & \ldots\cdot \ldots& \ldots\cdot b_n \\ \hline a_i & a_i\cdot b_0 & a_i\cdot \ldots & \boxed{a_i\cdot b_j} & a_i\cdot \ldots& a_i\cdot b_n \\ \hline \ldots & \ldots\cdot b_0 & \ldots\cdot \ldots & \ldots\cdot b_j & \ldots\cdot \ldots& \ldots\cdot b_n \\ \hline a_n & \boxed{a_n\cdot b_0} & a_n\cdot \ldots & a_n\cdot b_j & a_n\cdot \ldots& a_n\cdot b_n \\ \end{array} \]

Nous nous intéressons à la convergence de la série associée au produit de Cauchy des suites \((a_n)\) et \((b_n)\). Le critère habituel s’énonce ainsi.

Critère : absolues convergences. Si les séries \(\sum (a_n)\) et \(\sum (b_n)\) sont absolument convergentes, alors la série \(\sum (a_n)\ast (b_n)\) du produit de Cauchy est absolument convergente.

C’est un théorème d’encadrement qui se démontre en représentant les termes sommés par la série du produit de Cauchy à l’intérieur du triangle \([ABD]\) et en l’encadrant par deux carrés, l’un intérieur \([AEFG]\) ayant pour diagonale Nord-Ouest/Sud-Est le segment \([AF]\) commençant à l’origine et se terminant au milieu de la diagonale de rang \(n,\) l’autre extérieur \([ABCD]\) ayant pour diagonale Nord-Ouest/Sud-Est le segment \([AC]\) commençant à l’origine et se terminant en position \((n, n).\)

Figure 4.1: Produit de Cauchy : encadrement de la série

Exercice 4.4 (Un produit de Cauchy) Soit \(\sum (u_n)\) une série absolument convergente. Montrer que la série \[ \sum \left( \dfrac{1}{2^n} \right)_n \cdot \left( \sum_{k = 0}^n 2^k \cdot u_k \right)_n \] est convergente et calculer sa limite.

Il suffit dé développer le terme sommé pour reconnaître un produit de Cauchy, noté \(\ast\) : \[ \begin{align*} \left( \dfrac{1}{2^n} \cdot \sum_{k = 0}^n 2^k \cdot u_k \right)_n &= \left( \sum_{k = 0}^n \dfrac{1}{2^{n-k}} \cdot u_k \right)_n\\ &= \left(\dfrac{1}{2^n}\right)_n \ast (u_n)_n. \end{align*} \] Comme les séries \(\sum (u_n)\) et \(\sum (1/2^n)_n\) sont absolument convergentes, le critère de convergence s’applique pour le produit de Cauchy : la série \(\sum (1/2^n)_n \ast (u_n)_n\) de leur produit de Cauchy converge et sa limite est le produit des limites \[ \sum^{+\infty} \left(\dfrac{1}{2^n}\right) \cdot \sum^{+\infty} (u_n) = 2 \cdot \sum^{+\infty} (u_n). \]

Exercice 4.5 (Produit de Cauchy : le théorème de convergence de Mertens) Le théorème de Mertens permet d’améliorer le critère de convergence usuel pour les produits de Cauchy en affaiblissant les hypothèses de convergence. Le but de l’exercice est de le démontrer.

  1. Lemme. Supposons la série \(\sum (a_n)\) absolument convergente. Montrer que si la suite \((b_n)\) converge vers \(0,\) alors le produit de Cauchy \((a_n)\ast (b_n)\) des suites \((a_n)\) et \((b_n)\) converge vers \(0.\)
  2. Théorème. Supposons la série \(\sum (a_n)\) absolument convergente et la série \(\sum (b_n)\) simplement convergente. Alors la série \(\sum (a_n)\ast (b_n)\) du produit de Cauchy des suites \((a_n)\) et \((b_n)\) est convergente et sa limite est égale au produit des limites des séries \(\sum (a_n)\) et \(\sum (b_n)\) respectivement : \[ \sum^{+\infty} (a_n)\ast(b_n) = \sum^{+\infty} (a_n) \cdot \sum^{+\infty} (b_n). \]

Supposons la série \(\sum (a_n)\) absolument convergente vers \(A\). Supposons la suite \((b_n)\) convergente vers \(0.\) Étant convergente, la suite est majorée en valeur absolue, et soit \(M_b\) un majorant. Considérons le terme \(\sum_{k = 0}^n a_k \cdot b_{n-k},\) et séparons la somme en deux. Entre \(0\) et \(n/2\) (le quotient de la division euclidienne de \(n\) par \(2\)), on a \[ \begin{align*} \left|\sum_{k = 0}^{n/2} a_k \cdot b_{n-k}\right| &\leq \sum_{k = 0}^{n/2} |a_k| \cdot |b_{n-k}| \\ &\leq \left(\sum_{k = 0}^{n/2} |a_k|\right) \cdot \max (|b_j|)_{n - n/2 \leq j \leq n} \\ &\leq A \cdot \max (|b_j|)_{n - n/2 \leq j \leq n}. \\ \end{align*} \] Entre \(n/2\) et \(n\), on a \[ \begin{align*} \left|\sum_{k = n/2}^{n} a_k \cdot b_{n-k}\right| &\leq \sum_{k = n/2}^{n} |a_k| \cdot |b_{n-k}| \\ &\leq \left(\sum_{k = n/2}^{n} |a_k|\right) \cdot M_b. \\ \end{align*} \] On peut conclure car

  • \(|\sum_{k = 0}^{n} a_k \cdot b_{n-k}| \leq |\sum_{k = 0}^{n/2} a_k \cdot b_{n-k}| + |\sum_{k = n/2}^{n} a_k \cdot b_{n-k}|\), par l’inégalité triangulaire,
  • \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\max (|b_j|)_{n - n/2 \leq j \leq n} = 0,\) par convergence de \((b_n)\) vers \(0,\)
  • \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k = n/2}^{n} |a_k| = 0\), par convergence absolue de \(\sum (a_n).\)

Supposons la série \(\sum (a_n)\) absolument convergente et la série \(\sum (b_n)\) simplement convergente vers \(B.\) Étant absolument convergente, la série \(\sum (a_n)\) est aussi simplement convergente vers \(A.\)

La somme partielle \(\sum_{p=0}^{n} \sum_{k = 0}^p a_k \cdot b_{p-k}\) est formée des termes encadrés appartenant au triangle supérieur dans la figure ci-dessous.

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} & b_0& \ldots & b_j & \ldots & b_n \\ \hline a_0 & \boxed{a_0\cdot b_0} & \boxed{a_0\cdot \ldots} & \boxed{a_0\cdot b_j} & \boxed{a_0\cdot \ldots}& \boxed{a_0\cdot b_n} \\ \hline \ldots & \boxed{\ldots\cdot b_0} & \boxed{\ldots\cdot \ldots} & \boxed{\ldots\cdot b_j} & \boxed{\ldots\cdot \ldots}& \ldots\cdot b_n \\ \hline a_i & \boxed{a_i\cdot b_0} & \boxed{a_i\cdot \ldots} & \boxed{a_i\cdot b_j} & a_i\cdot \ldots& a_i\cdot b_n \\ \hline \ldots & \boxed{\ldots\cdot b_0} & \boxed{\ldots\cdot \ldots} & \ldots\cdot b_j & \ldots\cdot \ldots& \ldots\cdot b_n \\ \hline a_n & \boxed{a_n\cdot b_0} & a_i\cdot \ldots & a_n\cdot b_j & a_n\cdot \ldots& a_n\cdot b_n \\ \end{array} \]

Calculons-la en ligne, puis faisons apparaître la limite \(B\) de la série \(\sum (b_n)\).

\[ \begin{align*} \sum_{p=0}^{n} \sum_{k = 0}^p a_k \cdot b_{p-k} &= \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot \sum_{j = 0}^{n-i} b_{j} \\ &= \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot \left(\sum_{j = 0}^{n-i} b_{j} - B + B\right) \\ &= \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot \left(\sum_{j = 0}^{n-i} b_{j} - B\right) + \left(\sum_{i=0}^{n} a_i\right) \cdot B \\ &= \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot R_{n-i} + \left(\sum_{i=0}^{n} a_i\right) \cdot B, \end{align*} \] où \((R_n)\) est la suite définie par \(R_n := \sum_{j = 0}^{n} b_{j} - B\). Elle converge vers \(0\), et d’après le lemme, le produit de Cauchy de la suite \(a_n\) et de \(R_n\) converge vers \(0\). Comme \(\left(\left(\sum_{i=0}^{n} a_i\right) \cdot B\right)_n\) converge vers \(A \cdot B,\) on peut conclure.

  1. Fonction continue, dérivable de dérivée continue.↩︎

  2. Autrement dit : \(f'\) est absolument intégrable.↩︎